Đề bài

Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \). Tam giác (SAD) cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp SABCD bằng \(\frac{4}{3}{a^3}\). Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).

• A. \(h = \frac{2}{3}a\).
• B. \(h = \frac{4}{3}a\).
• C. \(h = \frac{8}{3}a\).
• D. \(h = \frac{3}{4}a\).

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi H là trung điểm AD \( \Rightarrow SH \bot AD\) (vì tam giác SAD cân tại S).

\(\left. \begin{array}{l}(SAD) \bot (ABCD)\\(SAD) \cap (ABCD) = AD\\SH \subset (SAD),SH \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot (ABCD)\).

Diện tích hình vuông ABCD là: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\).

Thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}}\)

\( \Rightarrow SH = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3 \cdot \frac{{4{a^3}}}{3}}}{{2{a^2}}} = 2a\).

Ta có: \(AB\parallel (SCD) \Rightarrow d(B,(SCD)) = d(A,(SCD))\).

Do đó \(\frac{{d(A,(SCD))}}{{d(H,(SCD))}} = \frac{{AD}}{{HD}} = 2\).

\( \Rightarrow d(A,(SCD)) = 2d(H,(SCD))\).

Kẻ \(HK \bot SD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}(SAD) \bot (ABCD)\\(SAD) \cap (ABCD) = AD\\CD \subset (ABCD),CD \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot KH\).

\(\left. \begin{array}{l}KH \bot CD\\KH \bot SD\end{array} \right\} \Rightarrow KH \bot (SCD) \Rightarrow d(H,(SCD)) = HK\).

Xét tam giác SHD vuông tại H:

\(\frac{1}{{K{H^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}}\)

\( \Rightarrow HK = \frac{{SH \cdot HD}}{{\sqrt {S{H^2} + H{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2a}}{3}\).

Vậy \(d(B,(SCD)) = 2HK = \frac{{4a}}{3}\).

Đáp án : B

Mở rộng

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến (P), kí hiệu d(M, (P)).

Quy ước: \(d(M,(P)) = 0 \Leftrightarrow M \in (P)\).

 

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \) đến mặt phẳng (P), kí hiệu \(d\left( {\Delta ,(P)} \right)\).

Trong hình, ta có \(d\left( {\Delta ,(P)} \right) = MM' = h\), trong đó \(M \in \Delta \), \(M' \in (P)\), \(MM' \bot (P)\) và \(\Delta //(P)\).