Đề bài

Cho $F(x) = \left( {ax^{2} + bx + c} \right)\text{e}^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {x^{2} + 1} \right)\text{e}^{x}$. Tính tổng $S = a + b + c$?

Phương pháp giải

$F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ nên F'(x) = f(x), từ đó tìm a, b, c.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$F'(x) = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx + c)e^x$

$ = [ax^2 + (2a + b)x + b + c]e^x$.

$F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ nên F'(x) = f(x)

$\begin{cases} a = 1 \\ 2a + b = 0 \\ b + c = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \\ c = 3 \end{cases}$

Vậy S = a + b + c = 2.