Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 9), đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = - 1 - t} \\ {z = 2 + 2t} \end{array} \right.$ và mặt phẳng $(\alpha):x + y - z + 3 = 0$.
a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overset{\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.
b) Điểm M thuộc đường thẳng d.
c) Điểm A có tọa độ dạng $A(t; - 1 - t;2 + 2t)$ với $t \in {\mathbb{R}}$ thì A thuộc đường thẳng d.
d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là $\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{3} = \dfrac{z - 4}{5}$.
a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overset{\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.
b) Điểm M thuộc đường thẳng d.
c) Điểm A có tọa độ dạng $A(t; - 1 - t;2 + 2t)$ với $t \in {\mathbb{R}}$ thì A thuộc đường thẳng d.
d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là $\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{3} = \dfrac{z - 4}{5}$.
a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến có tọa độ (A;B;C).
b, c) Thay tọa độ điểm M vào phương trình d, nếu có giá trị t thỏa mãn hệ thì M thuộc d.
d) Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) và đường thẳng \(d\). Biểu diễn tọa độ \(\overrightarrow{MN} \) theo t.
Vì \(\Delta \parallel (\alpha)\) nên tích vô hướng của VTCP của \(\Delta\) và VTPT của (\alpha\) bằng 0. Từ đó giải ra t và lập phương trình đường thẳng \(\Delta\).
a) Đúng. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)\).
b) Sai. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = t}\\{1 = - 1 - t}\\{9 = 2 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\{t = - 2}\\{t = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\) (vô lí)
Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).
c) Đúng. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = t}\\{ - 1 - t = - 1 - t}\\{2 + 2t = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) (luôn đúng)
Vậy điểm \(A\) có tọa độ dạng \(A(t; -1 - t; 2 + 2t)\) với \(t \in \mathbb{R}\) thì \(A\) thuộc đường thẳng \(d\).
d) Đúng. Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) và đường thẳng \(d\). Khi đó tọa độ của \(N\) có dạng \(N(t; -1 - t; 2 + 2t)\).
Ta có: \(\overrightarrow{MN} = (t - 3; -2 - t; -7 + 2t)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)\).
Vì \(\Delta \parallel (\alpha)\) nên \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow t - 3 - 2 - t + 7 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Suy ra \(N(1; -2; 4)\) và \(\overrightarrow{MN} = (-2; -3; -5)\).
Vậy đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(N(1; -2; 4)\) và có một vecto chỉ phương là \((2; 3; 5)\) nên phương trình đường thẳng \(\Delta\) là \(\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{5}\).
Danh sách bình luận