Đề bài

Cho tập hợp gồm 18 số tự nhiên S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18}. Chọn ngẫu nhiên 9 số tự nhiên từ tập và điền vào 9 ô vuông của một bảng 3x3 như hình vẽ. Gọi T là số cách điền thỏa mãn các số trên mỗi đường chéo theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị $\dfrac{T}{100}$.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số nhân, phương pháp liệt kê và phương pháp tổ hợp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Bộ ba số lập thành cấp số nhân từ tập S: (1; 2; 4), (1; 3; 9), (1; 4; 16), (2; 4; 8), (2; 6; 18), (3; 6; 12), (4; 6; 9), (4; 8; 16), (8; 12; 18), (9; 12; 16).

Ta có các nhóm cấp số nhân thỏa mãn xếp vào hai đường chéo là:

+ (2; 4; 8), (1; 4; 16).

+ (4; 6; 9), (3; 6; 12), (2; 6; 18).

+ (8; 12; 18), (9; 12; 16).

TH1: Xếp dãy cấp số nhân có 4 là số chính giữa.

- Chọn hai bộ cấp số nhân: 1 cách.

- Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.

- Mỗi bộ có hai cách xếp thứ tự: 2.2 = 4 cách.

TH2: Xếp dãy cấp số nhân có 6 là số chính giữa.

- Chọn hai bộ cấp số nhân: $C_{3}^{2} = 3$ cách.

- Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.

- Mỗi bộ có hai cách xếp thứ tự: 2.2 = 4 cách.

TH3: Xếp dãy cấp số nhân có 12 là số chính giữa.

- Chọn hai bộ cấp số nhân: 1 cách.

- Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.

- Mỗi bộ có hai cách xếp thứ tự: 2.2 = 4 cách.

Tổng cộng có 1.2.4 + 3.2.4 + 1.2.4 = 40 cách xếp hai đường chéo.

Số cách xếp các ô còn lại là: $A_{13}^{4} = 17160$ cách.

Vậy $\left. T = 40.17160 = 686400\Rightarrow\dfrac{T}{100} = 6864 \right.$.