Đề bài

Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng MN, khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây:

Biết MN = 24 cm, ABCD là hình chữ nhật có AB = 18 cm, AD = 36 cm, hai cung APD và BQC là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là P, Q và PQ = 10 cm. Thể tích của mô hình đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Khi đó N(12; 0), Q(0; 5), C(18; 9), B(-18; 9).

Giả sử parabol BQC có phương trình $y = ax^{2} + bx + c$ (a > 0).

B, Q, C thuộc parabol nên ta có hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}5 = a{.0^2} + b.0 + c\\9 = a{.18^2} + b.18 + c\\9 = a{( - 18)^2} + b( - 18) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{81}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right.\)

Vậy parabol BQC có phương trình $y = \dfrac{1}{81}x^{2} + 5$.

Giả sử NC có phương trình y = mx + n. Ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} {0 = m.12 + n} \\ {9 = m.18 + n} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 1,5} \\ {n = - 18} \end{array} \right.$

$\Rightarrow y = 1,5x - 18 $.

Thể tích mô hình là:

$V = 2\pi{\int\limits_{0}^{18}{\left( {\dfrac{1}{81}x^{2} + 5} \right)^{2}dx}} - 2\pi{\int\limits_{12}^{18}{\left( {1,5x - 18} \right)^{2}dx}} \approx 3679$ $(cm^{3})$.