Cho một bảng ô vuông kích thước 2×7 như hình vẽ dưới đây.
Hai ô vuông gọi là kề nhau nếu có chung một cạnh. Người ta tô màu các ô vuông bởi hai màu đen và đỏ sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Gọi P là xác suất để có đúng 3 ô được tô màu đỏ và không có hai ô đỏ nào kề nhau. Giá trị 8192P bằng bao nhiêu?
Sử dụng phương pháp tổ hợp và phương pháp vách ngăn.
Tổng số cách tô màu: $2^{14}$.
TH1: 3 ô đỏ nằm cùng 1 hàng.
- Số cách chọn 1 hàng: 2 cách.
- Số cách chọn 3 ô không kề nhau trên 1 hàng để tô màu đỏ:
4 ô màu đen còn lại tạo thành 5 khoảng trống. Chọn 3 trong 5 khoảng trống đó để tô màu đỏ: $C_{5}^{3}$ cách.
Vậy TH1 có $1.2.C_{5}^{3} = 20$ cách tô màu.
TH2: 2 ô đỏ ở cùng 1 hàng và 1 ô đỏ ở hàng còn lại.
- Số cách chọn hàng có 2 ô đỏ: 2 cách.
- Số cách chọn 2 ô không kề nhau trên 1 hàng để tô màu đỏ:
5 ô màu đen còn lại tạo thành 6 khoảng trống. Chọn 2 trong 6 khoảng trống đó để tô màu đỏ: $C_{6}^{2}$ cách.
- Số cách chọn 1 ô màu đỏ ở hàng còn lại không kề với 2 ô đỏ đã chọn: 5 cách.
Vậy TH2 có $1.2.C_{6}^{2}.5 = 150$ cách.
Xác suất cần tìm là:
$\left. P = \dfrac{20 + 150}{2^{14}} = \dfrac{85}{8192}\Rightarrow 8192P = 85 \right.$.
Danh sách bình luận