Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 6. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng $60^{o}$. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC (không làm tròn các phép tính trung gian, kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần mười).
Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, xác định góc phẳng nhị diện và chiều cao khối chóp, từ đó tính được thể tích khối chóp.
Gọi E là trung điểm của BC, K là trung điểm của BE, H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).
Khi đó, HK là đường trung bình của tam giác ABE và HK // AE.
Tam giác ABC là tam giác đều nên $\left. AE\bot BC\Rightarrow HK\bot BC \right.$ (1)
$ \left. \begin{array}{l} \left. SH\bot(ABC)\Rightarrow SH\bot BC \right. \\ {HK\bot BC} \end{array} \right\}$
$\Rightarrow BC\bot(SHK)\Rightarrow BC\bot SK $ (2)
Mà $(SBC) \cap (ABC) = BC$, $S \in (SBC)$, $A \in (ABC)$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\lbrack S,BC,A\rbrack = \widehat{SKH} = 60^{o}$.
Ta có $\left. AE = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\Rightarrow HK = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right.$.
Xét tam giác SHK vuông tại H:
$ \tan\widehat{SKH} = \dfrac{SH}{HK}$
$\Rightarrow SH = HK\tan\widehat{SKH} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\tan 60^{o} = \dfrac{9}{2} $.
$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{6^{2}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{9}{2} \approx 23,4$ (đvtt).
Danh sách bình luận