Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = - 2 + t} \\ {y = 2t} \\ {z = 1 - 3t} \end{array} \end{array} \right.$ và điểm M(2; -2; 1).
a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI = \sqrt{5}$.
b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 2 - 2t} \\ {z = 1} \end{array} \end{array} \right.$.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\Delta$ là $\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{- 3}$.
d) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (1;2; - 3)$.
a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $OI = \sqrt{5}$.
b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - 2 - 2t} \\ {z = 1} \end{array} \end{array} \right.$.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\Delta$ là $\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z - 1}{- 3}$.
d) Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (1;2; - 3)$.
Áp dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.
a) Sai. Vì \(I \in \Delta \) nên \(I( - 2 + t,2t,1 - 3t)\).
\(OI = \sqrt {{{( - 2 + t)}^2} + {{(2t)}^2} + {{(1 - 3t)}^2}} = \sqrt 5 \)
\( \Leftrightarrow {( - 2 + t)^2} + 4{t^2} + {(1 - 3t)^2} = 5\)
\( \Leftrightarrow 4 - 4t + {t^2} + 4{t^2} + 1 - 6t + 9{t^2} = 5\)
\( \Leftrightarrow 14{t^2} - 10t = 0\).
Giải phương trình ta được: \(t = 0\) hoặc \(t = \frac{5}{7}\).
Vậy có hai điểm I thỏa mãn là \({I_1}( - 2;0;1)\) và \({I_2}\left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{8}{7}} \right)\).
b) Sai. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên \(\Delta \). Vì d cắt và vuông góc với \(\Delta \) tại H, nên d chính là đường thẳng MH.
\(H \in \Delta \Rightarrow H( - 2 + t,2t,1 - 3t)\).
\(\overrightarrow {MH} = ( - 4 + t,2t + 2, - 3t)\).
Vì \(MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\):
\(1.( - 4 + t) + 2.(2t + 2) - 3.( - 3t) = 0\)
\( \Leftrightarrow - 4 + t + 4t + 4 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = 0\).
Với t = 0, ta có H(-2; 0; 1).
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {MH} = ( - 4;2;0)\); chọn vectơ cùng phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;0)\).
Đối chiếu với phương trình đề bài cho có tọa độ vectơ chỉ phương là (2; -2; 0); không cùng phương với vectơ có tọa độ (2; -1; 0).
c) Đúng. \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) nên có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)\); \(\Delta '\) đi qua M(2; -2; 1) nên phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - ( - 2)}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).
d) Đúng. Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (1;2; - 3)\).
Danh sách bình luận