Đề bài

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 500 km. Một máy bay đang ở vị trí A(-1000; -185; 30) và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (100; 80; 0)$. Tính khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu (S). Tính độ dài AM.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu (S) tâm O bán kính R = 500 (km).

Ta có: $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 500^2$;

$d: \begin{cases} x = -1000 + 100t \\ y = -185 + 80t \\ z = 30 \end{cases} \Rightarrow AM = 20\sqrt{41}t$

Tìm M:

$(-1000 + 100t)^2 + (-185 + 80t)^2 + 30^2 = 250000$

$\Leftrightarrow 16400t^2 - 229600t + 785125 = 0$

$\Leftrightarrow 656t^2 - 9184t + 31405 = 0$

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{1148 + \sqrt {30299} }}{{164}} \Rightarrow AM \approx 1032}\\{t = \frac{{1148 - \sqrt {30299} }}{{164}} \Rightarrow AM \approx 761}\end{array}} \right.\)

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay xấp xỉ 761 km.