Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (hình 1). Thiết diện qua trục của bình như hình 2. Biết AB = CD = 16 cm, EF = 30 cm, h = 12 cm, h' = 30 cm và giá mỗi lít rượu là 100 000 đồng. Hỏi ông An cần bao nhiêu triệu đồng để đổ đầy bình rượu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể)?
Công thức tính thể tích chỏm cầu có bán kính $R$, chiều cao $h$: $V_{chomcau} = \pi h^2 \left( R - \frac{h}{3} \right)$.
Công thức tính thể tích cầu có bán kính $R$: $V_{cau} = \frac{4}{3} \pi R^3$.
Gọi O là tâm mặt cầu, gọi H là trung điểm của $CD \Rightarrow OH \perp CD$.
Ta có: $OH = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$,
$CH = \frac{CD}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Xét tam giác vuông OHC: $OC = \sqrt{OH^2 + CH^2} = 10 = R_{cau}$.
$\Rightarrow OK = 10 \Rightarrow HK = OK - OH = 4$.
Thể tích chỏm cầu là:
$V_{chomcau} = \pi h^2 \left( R - \frac{h}{3} \right)$
$= \pi \cdot 4^2 \left( 10 - \frac{4}{3} \right) = \frac{416\pi}{3}$.
Thể tích khối cầu là:
$V_{cau} = \frac{4}{3} \pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3}$.
Thể tích phần trên của bình rượu là:
$V_1 = \frac{4000\pi}{3} - 2 \cdot \frac{416\pi}{3} = 1056\pi$.
Thể tích phần dưới của bình rượu là:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi\left(8^2 + 15^2 + 8 \cdot 15\right) \cdot 30 = 4090\pi$.
Suy ra thể tích bình rượu là:
$V = V_1 + V_2 = 5146\pi$ $\left(cm^3\right)$ $= 5,146\pi$ (l).
Vậy số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là $5,146\pi \cdot 0,1 = 1,62$ (triệu đồng).
Chứng minh công thức tính thể tích khối chỏm cầu
Khối chỏm cầu có bán kính \(R\) và chiều cao \(h\) \(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h\), \(x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30).
Thể tích khối chỏm cầu là:
\(V = \pi \int\limits_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} \)
\(= \pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}R\\R - h\end{array} \right.\)
\( = \pi \left[ {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}\left( {R - h} \right) + \frac{{{{\left( {R - h} \right)}^3}}}{3}} \right] \)
\(= \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\).
Danh sách bình luận