Đề bài

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng 0,5 m và cách chỗ Bình 4,5 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia Ox và mặt phẳng (Oxy) là mặt đất (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$: x + by + cz + d = 0 và $(\alpha)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2}$ bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi A.

Lập phương trình mặt phẳng $\left( {\alpha\ } \right)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\overset{\rightarrow}{n}\ = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{k}} \right\rbrack$ làm vecto pháp tuyến.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Quả bóng rơi xuống tại điểm \(A(\sqrt {20} ;0,5;0)\).

Mặt phẳng \((\alpha )\): x + by + cz + d = 0 đi qua O(0; 0; 0) nên:

0 + b.0 + c.0 + d = 0, suy ra d = 0.

Điểm \(A(\sqrt {20} ;0,5;0)\) thuộc \((\alpha )\) nên:

\(\sqrt {20}  + 0,5b + 0c = 0 \Leftrightarrow b =  - \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

VTPT của \((\alpha )\) là \(\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}}  = \left( {1; - \frac{4}{{\sqrt 5 }};c} \right)\), VTPT của mặt đất (Oxy) là \(\overrightarrow k  = (0;0;1)\).

Vì \((\alpha )\) vuông góc với mặt đất nên ta có:

\(\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}}  \bot \overrightarrow {{n_{(Oxy)}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} .\overrightarrow k  = 0\)

\(1.0 + \left( { - \frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right).0 + c.1 = 0 \Leftrightarrow c = 0\).

Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình là \((\alpha )\): \(x - 4\sqrt 5 y = 0\).

Do đó: \( - 3{b^2} - {c^2} + 2{d^2} =  - 240\).