Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
- Tính diện tích phần giao của hai hình tròn.
Chia làm hai hình viên phân và tính diện tích của chúng bằng cách gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức tích phân $S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.
- Tính diện tích phần còn lại của sân khấu và suy ra chi phí.
Đặt $OH = x \Rightarrow O'H = 30 - x$.
Ta có: $\Delta AHO$ vuông tại $H$ nên:
$AH^2 = OA^2 - OH^2 = 400 - x^2$.
$\Delta AHO'$ vuông tại $H$ nên:
$AH^2 = O'A^2 - O'H^2 = 225 - (30 - x)^2$
$\Rightarrow 400 - x^2 = 225 - (30 - x)^2 $
$\Leftrightarrow x = \frac{215}{12}$
$\Rightarrow OH = \frac{215}{12}$, $O'H = \frac{145}{12}$.
Khi đó $AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \frac{5\sqrt{455}}{12}$.
Ta tính diện tích phần giao của hai đường tròn (bằng tổng diện tích hai hình viên phân chắn bởi cung AB và dây AB ở mỗi đường tròn).
+ Xét hình viên phân tạo bởi dây và cung AB của hình tròn tâm O bán kính 20.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.
Ở đó hình viên phân tạo bởi cung và dây AB giới hạn bởi nửa đường tròn $y = \sqrt{400 - x^2}$ và đường thẳng $y = \frac{215}{12}$.
Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{400 - x^2} = \frac{215}{12} \Leftrightarrow x = \pm \frac{5\sqrt{455}}{12}$.
Do đó diện tích $S_1 = \int_{-\frac{5\sqrt{455}}{12}}^{\frac{5\sqrt{455}}{12}} \left( \sqrt{400 - x^2} - \frac{215}{12} \right) dx \approx 24,96$ (m).
+ Xét hình viên phân tạo bởi dây và cung AB của hình tròn tâm $O'$ bán kính 15.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.
Ở đó hình viên phân tạo bởi cung và dây AB giới hạn bởi nửa đường tròn $y = \sqrt{225 - x^2}$ và đường thẳng $y = \frac{145}{12}$.
Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{225 - x^2} = \frac{145}{12} \iff x = \pm \frac{5\sqrt{455}}{12}$.
Do đó diện tích $S_2 = \int_{-\frac{5\sqrt{455}}{12}}^{\frac{5\sqrt{455}}{12}} \left( \sqrt{225 - x^2} - \frac{145}{12} \right) dx \approx 35,3 $ (m).
Diện tích phần giao của hai hình tròn là:
$S = S_1 + S_2 = 24,96 + 35,3 = 60,26 $ (m).
Diện tích phần còn lại của hình tròn là:
$S' = (\pi \cdot 20^2 - 60,26) + (\pi \cdot 15^2 - 60,26) \approx 1842,98$ (m).
Vậy tổng chi phí là:
$1842,98. 100000 + 60,26. 300000 = 202376000$ đồng hay xấp xỉ 202 triệu đồng.
Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về hình học giải tích để mô tả các hình dạng trong khuôn viên và phép tính tích phân để tính diện tích.
1. Xây dựng mô hình toán học bằng hệ trục tọa độ:
Đầu tiên, ta cần chọn một hệ trục tọa độ để biểu diễn khuôn viên và các phần được thiết kế bên trong. Việc lựa chọn hệ trục tọa độ phù hợp sẽ giúp chuyển đổi các hình dạng hình học thành các phương trình đại số. Từ hệ trục tọa độ đã chọn, các hình dạng của khuôn viên và phần trồng hoa được biểu diễn bằng các phương trình đường cong.
2. Ứng dụng tích phân:
Đây là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, cho phép tính toán nhiều đại lượng, bao gồm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai hàm y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] là \(\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Danh sách bình luận