Tìm m sao cho: $- x^{2} + 2(m + 1)x - m^{2} + m < 0$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$.
Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.
Xét tam thức bậc hai $f(x) = -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m$ có:
$\Delta' = (m+1)^2 - (-1) \cdot (-m^2 + m) = 3m + 1$ và $a = -1 < 0$.
Để $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $\Delta' = 3m + 1 < 0$ suy ra $m < \frac{-1}{3}$.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)
Bài 2 :
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\) là
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$
Bài 3 :
Cho các tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4\); \(g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4\); \(h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là:
$0$
$1$
$2$
$3$
Bài 4 :
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) \ge 0\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$.
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$.
Bài 5 :
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) < 0\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta = 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.
Bài 6 :
Dấu của tam thức bậc 2: $f\left( x \right) = -{x^2} + 5x-6$ được xác định như sau:
$f\left( x \right) < 0$ với $2 < x < 3$ và $f\left( x \right) > 0$ với \(x < 2\) hoặc $x > 3$.
$f\left( x \right) < 0$ với $-3 < x < -2$ và $f\left( x \right) > 0$ với $x < -3$ hoặc $x > -2$.
$f\left( x \right) > 0$ với $2 < x < 3$ và $f\left( x \right) < 0$ với $x < 2$ hoặc $x > 3$
$f\left( x \right) > 0$ với $-3 < x < -2$và $f\left( x \right) < 0$với $x < -3$ hoặc $x > -2$.
Bài 7 :
Cho $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng là:
$f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$
$f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {\,1;3\,} \right]$
$f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {\,1;3\,} \right]$
Bài 8 :
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \) là
Bài 9 :
Biết rằng tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x - 2} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\) là \(D = \left[ {a; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bài 10 :
a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2\) tùy theo các khoảng của x.
b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3\) tùy theo các khoảng của x.
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số tùy theo các khoảng của x trong trường hợp \(\Delta > 0\).
Bài 11 :
a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1\)
b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 4\)
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số a trong trường hợp \(\Delta = 0\).
Bài 12 :
a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2\)
b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 5\)
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số a trong trường hợp \(\Delta < 0\).
Bài 13 :
Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 8\)
Bài 14 :
Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 4x - 5\)
b) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\)
Bài 15 :
Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) với đồ thị được cho ở mỗi Hình 224a, 24b, 24c.
Bài 16 :
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) \({x^2} - 2x - 3 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
b) \({x^2} - 2x - 3 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\)
Bài 17 :
Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1\)
b) \(f\left( x \right) = 9{x^2} + 6x + 1\)
c) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 10\)
d) \(f\left( x \right) = - 5{x^2} + 2x + 3\)
e) \(f\left( x \right) = - 4{x^2} + 8x - 4\)
g) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 3x - 1\)
Bài 18 :
Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.
b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng.
Bài 19 :
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất
\(Q\) sản phẩm là \({Q^2} + 180Q + 140000\)(nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra
thị trường là 1 200 nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiều sản phẩm thì hoà vốn?
c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?
Bài 20 :
Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x - 1\)
b) \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 12\)
c) \(f\left( x \right) = 16{x^2} + 24x + 9\)
Bài 21 :
\({x^2} - 3x + 2 > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
\({x^2} - 3x + 2 \le 0\) khi \(x \in \left[ {1;2} \right]\)
\({x^2} - 3x + 2 < 0\) khi \(x \in \left[ {1;2} \right)\)
\({x^2} - 3x + 2 \ge 0\) khi \[x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\]
Bài 22 :
Cho tam thức \(f(x) = {x^2} - 8x + 16\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình \(f(x) = 0\) vô nghiệm
\(f(x) > 0\) với mọi \(x \in R\)
\(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\)
\(f(x) < 0\) khi \(x < 4\)
Bài 23 :
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. \({x^2} - x - 2 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \({x^2} - x - 2 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\)
C. \({x^2} - x - 2 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - 1;2} \right)\)
D. \({x^2} - x - 2 \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Bài 24 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 15.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( {1;3} \right)\)
B. \(f\left( x \right) \le 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( {1;3} \right)\)
D. \(f\left( x \right) \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ {1;3} \right]\)
Bài 25 :
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
A. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta \le 0\)
B. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta < 0\)
C. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(\Delta < 0\)
D. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(\Delta \le 0\)
Bài 26 :
Lập bảng xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 7x + 4\)
b) \(f\left( x \right) = 25{x^2} + 10x + 1\)
c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 8\)
d) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x + 3\)
e) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x - 3\)
g) \(f\left( x \right) = - 5{x^2} + 2x - 4\)
Bài 27 :
Tìm \(m\) để tam thức \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + m - 12\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Bài 28 :
Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
Bài 29 :
Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 6m - 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Bài 30 :
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \({Q^2} + 200Q + 180.000\) (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 300 nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất ra đều bán hết.
Danh sách bình luận