Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, gọi T là xác suất số lấy được là số lẻ đồng thời tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. Giá trị của 230T bằng bao nhiêu?
Sử dụng phương pháp liệt kê và phương pháp tổ hợp.
Tập hợp S gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Số các số có thể lập được là: n(S) = 6! = 720.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$. Theo đề bài:
- Chữ số cuối là số lẻ: $a_{6} \in \left\{ 1;3;5 \right\}$.
- Tổng chữ số: $a_{1} + a_{2} + a_{3} = (a_{4} + a_{5} + a_{6}) + 1$.
- Tổng của cả 6 chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Đặt $X = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ và $Y = a_{4} + a_{5} + a_{6}$.
Ta có hệ phương trình: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {X + Y = 21} \\ {X = Y + 1} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {X = 11} \\ {Y = 10} \end{array} \right. \right.$
Ta cần tìm các bộ 3 số $\left\{ a_{4};a_{5};a_{6} \right\}$ có tổng bằng 10; trong đó $a_{6}$ phải là số lẻ (1; 3; 5).
TH1: $a_{6} = 1$. Khi đó $a_{4} + a_{5} = 10 - 1 = 9$.
Các cặp $\left\{ a_{4};a_{5} \right\}$ từ tập {2; 3; 4; 5; 6} có tổng bằng 9 là: {3; 6} và {4; 5}.
+) Với bộ {3; 6; 1}: Các chữ số còn lại cho $\left\{ a_{1};a_{2};a_{3} \right\}$ là {2; 4; 5} (tổng = 11 - TM).
Số các số: 3!.2! = 6.2 = 12 số.
+) Với bộ $\left\{ 4;5;1 \right\}$: Các chữ số còn lại là $\left\{ 2;3;6 \right\}$ (tổng = 11 - TM).
Số các số: $3!.2! = 12$ số.
TH2: $a_{6} = 3$. Khi đó $a_{4} + a_{5} = 10 - 3 = 7$.
Các cặp $\left\{ a_{4};a_{5} \right\}$ từ tập {1; 2; 4; 5; 6} có tổng bằng 7 là: {1; 6} và {2; 5}.
+) Với bộ {1; 6; 3}: Các chữ số còn lại là {2; 4; 5} (tổng = 11 - TM).
Số các số: $3!.2! = 12$ số.
+) Với bộ {2; 5; 3}: Các chữ số còn lại là {1; 4; 6} (tổng = 11 - TM).
Số các số: 3!.2! = 12 số.
TH3: $a_{6} = 5$. Khi đó $a_{4} + a_{5} = 10 - 5 = 5$.
Các cặp $\left\{ a_{4};a_{5} \right\}$ từ tập {1; 2; 3; 4; 6} có tổng bằng 5 là: {1; 4} và {2; 3}.
+) Với bộ {1; 4; 5}: Các chữ số còn lại là {2; 3; 6} (tổng = 11 - TM).
Số các số: 3!.2! = 12 số.
+) Với bộ {2; 3; 5}: Các chữ số còn lại là {1; 4; 6} (tổng = 11 - TM).
Số các số: 3!.2! = 12 số.
Tổng số các số thỏa mãn điều kiện là: 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 72 (số).
Xác suất T là: $T = \dfrac{72}{720} = \dfrac{1}{10}$. Vậy $230T = 230.\dfrac{1}{10} = 23$.
Danh sách bình luận