Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 6$ và $y = g(x) = - bx^{2} + mx + n$ trong đó $a,b,c,m,n \in {\mathbb{R}}$. Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng -2; 1; 3. Chi phí trồng hoa là 150000 đồng/$m^{2}$ và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân.
Phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x) là:
$ax^{3} + bx^{2} + cx + 6 = - bx^{2} + mx + n$
$\Leftrightarrow ax^{3} + 2bx^{2} + (c - m)x + (6 - n) = 0$.
Đặt $h(x) = ax^{3} + 2bx^{2} + (c - m)x + (6 - n)$ (1)
Theo đề bài, đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ x = -2, x = 1, và x = 3. Do đó, h(x) có thể được viết dưới dạng:
$h(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3) $
$= ax^{3} - 2ax^{2} - 5ax + 6a$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra hệ số tự do của h(x) là 6 – n = 6a.
Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị của hàm g(x) là parabol đi qua gốc tọa độ nên ta có:
$ g(0) = 0\Leftrightarrow - b.0^{2} + m.0 + n = 0$
$\Leftrightarrow n = 0\Rightarrow 6 - 0 = 6a\Rightarrow a = 1 $.
Suy ra $h(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$.
Diện tích trồng hoa là:
${\int\limits_{- 2}^{3}{\left| {h(x)} \right|dx = {\int\limits_{- 2}^{3}{\left| {x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6} \right|dx}}}} \approx 21,08$ $(m^{2})$.
Chi phí trồng hoa là: $150.21,08 \approx 3163$ (nghìn đồng).
Danh sách bình luận