Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích (đơn vị $cm^{3}$) lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể ứng dụng tích phân.
Đặt R = 6 (cm), h = 10 (cm). Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x $( - 6 \leq x \leq 6)$ cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S(x).
Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông, giả sử là tam giác ABC vuông tại B như trong hình vẽ.
Ta có $S(x) = S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC $
$= \dfrac{1}{2}BC^{2}\tan\alpha = \dfrac{1}{2}(R^{2} - x^{2})\dfrac{h}{R} = \dfrac{5(36 - x^{2})}{6}$.
Vậy thể tích lượng nước trong cốc là:
$V = {\int_{- 6}^{6}S}(x)dx = {\int_{- 6}^{6}\dfrac{5(36 - x^{2})}{6}}dx = 240$ $(\text{cm}^{3})$.
Danh sách bình luận