Đề bài

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Biết rằng có vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất, tính độ dài BM (đơn vị kilômét).

Phương pháp giải

Đặt BM = x. Lập hàm số biểu diễn tổng chi phí lắp đặt theo x, ứng dụng đạo hàm tìm x để hàm số đạt GTNN.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Đặt BM = x (km; $0 \leq x \leq 10$).

Khi đó AM = AB – BM = 10 – x (km); $CM = \sqrt{x^{2} + 4^{2}}$ (km).

Tổng chi phí lắp đặt là: $P = 30.AM + 50.CM$

$= 30(10 - x) + 50\sqrt{x^{2} + 4^{2}} = 300 - 30x + 50\sqrt{x^{2} + 16}$ (triệu đồng).

$\left. P' = - 30 + \dfrac{50x}{\sqrt{x^{2} + 16}} = 0\Leftrightarrow x = 3 \right.$.

Ta có P(0) = 500; P(3) = 460; P(10) $\approx$ 538,5.

Vậy để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất thì BM = 3 km.