Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \end{cases}$ và điểm A(3; 10). Điểm M(a; b) thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho đoạn thẳng AM ngắn nhất. Tính S = a + b.

Phương pháp giải

Biểu diễn tọa độ điểm M và độ dài AM theo t. Tìm t để AM nhỏ nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

$M \in \Delta \Rightarrow M(3+2t;-t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = (2t;-t-10)$.

$AM = \sqrt{(2t)^2 + (-t-10)^2}$

$= \sqrt{5t^2 + 20t + 100}$

$= \sqrt{5(t+2)^2 + 80} \geq \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Vậy AM ngắn nhất là $4\sqrt{5}$ khi $t = -2 $

$\Rightarrow M(-1;2) \Rightarrow S = 1$.