Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(0; 2), B(4; 3), giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng $\Delta : x - 3y = 0$. Khi đó có bao nhiêu điểm C có tọa độ nguyên?

Phương pháp giải

Biểu diễn tọa độ điểm I, $\vec{IA}$, $\vec{IA}$ theo t. Vì ABCD là hình thoi nên $\vec{IA}.\vec{IB} = 0$, tìm t và kết luận tọa độ điểm C.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Vì I thuộc $\Delta$ nên giả sử I(3t; t).

Khi đó IA = (-3t; 2 - t), IB = (4 - 3t; 3 - t).

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $\overrightarrow{IA} . \overrightarrow{IB} = 0$

$\Leftrightarrow (-3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0$

$\Leftrightarrow 10t^2 - 17t + 6 = 0$.

Suy ra $t = \frac{1}{2}$ hoặc $t = \frac{6}{5}$.

Với $t = \frac{1}{2}$ ta có:

$I\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right) \Rightarrow C(3; -1)$ (nhận).

Với $t = \frac{6}{5}$ ta có:

$I\left(\frac{18}{5}; \frac{6}{5}\right) \Rightarrow C\left(\frac{36}{5}; \frac{2}{5}\right)$ (loại).

Vậy có 1 điểm C có tọa độ nguyên.