Đề bài

Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\begin{cases} x = 3 - 33t \\ y = -4 + 25t \end{cases}$; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu kilômét?

Phương pháp giải

Biểu diễn vị trí tàu B và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Khi tàu A đứng yên, vị trí ban đầu của nó có tọa độ P(3; -4); vị trí tàu B ứng với thời gian t là Q(4 - 30t; 3 - 40t).

$PQ = \sqrt{(1 - 30t)^2 + (7 - 40t)^2} $

$= \sqrt{2500t^2 - 620t + 50}$.

Đoạn PQ ngắn nhất ứng với:

$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{620}{2 . 2500} = -\frac{31}{500} = 0,124$ (giờ).

$PQ_{\text{min}} = \sqrt{2500 . (0,124)^2 - 620 . (0,124) + 50}$

$= \frac{17}{5} = 3,4$ (km).