Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\begin{cases} x = 3 - 33t \\ y = -4 + 25t \end{cases}$; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Giả sử a là côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A, B. Tính 100a (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Tìm cặp vectơ chỉ phương của hai đường đi của tàu và áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường đi (giả sử là hai đường thẳng $d_1$, $d_2$) của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (-33; 25)$, $ \vec{u_2} = (-30; -40)$; côsin góc tạo bởi hai đường thẳng là:
$a = \cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u_1} . \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| . |\vec{u_2}|} $
$= \frac{| -33 . (-30) + 25(-40) |}{\sqrt{(-33)^2 + 25^2} . \sqrt{(-30)^2 + (-40)^2}} \approx 0,00483$.
Vậy $100a \approx 0,48$.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.,{\rm{ }}{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 5 + 3t'\end{array} \right.\)
Bài 2 :
Hai đường thẳng cắt nhau \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đó. Nêu mối quan hệ giữa:
a) \(\varphi \) và góc \(\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\).
b) \(\cos \varphi \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\).
Bài 3 :
Tính góc giữa hai đường thẳng: \({\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}x + 3y + 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{\Delta _2}:{\rm{ }}y = 3x + 1\)
Bài 4 :
Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) \({\Delta _1}:\sqrt 3 x + y - 4 = 0\) và\({\Delta _2}:x + \sqrt 3 y + 3 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)
Bài 5 :
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:x + 3y - 7 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2y + 3 = 0\).
b) \({\Delta _1}:4x - 2y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 13 + 2t\end{array} \right.\)
c) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)
Bài 6 :
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:3x - y - 11 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 5y - 5 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 7 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 9 + 2t\end{array} \right.\)
Bài 7 :
Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - y + 2 = 0\) và \({d_2}:x + y + 4 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x - 3y + 2 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y = 3 + t'\end{array} \right.\)
Bài 8 :
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong môi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:y - 4 = 0\).
b) \({\Delta _1}:2x - y = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0\).
Bài 9 :
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)\) . Tính \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\).
Bài 10 :
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {IB} \).
a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng.
\({\Delta _1},{\Delta _2}\)và độ lớn của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {IA} \),\(\overrightarrow {IB} \).
b) Chứng tỏ cos(\({\Delta _1},{\Delta _2}\)) = \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)} \right|\).
Bài 11 :
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y + 5 = 0\) và\({d_2}:x - 3y + 3 = 0\).
Bài 12 :
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:y - 1 = 0\) và \(k:x - y + 4 = 0\).
b) \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) và \(b:3x + y + 1 = 0\).
c) \(m:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\) và \(n:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t'\\y = \sqrt 3 t'\end{array} \right.\).
Bài 13 :
Cho hai đường thẳng \(d:x - 2y - 5 = 0\) và \(k:x + 3y + 3 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng d và k là:
A. \({30^ \circ }\)
B. \({135^ \circ }\)
C. \({45^ \circ }\)
D. \({60^ \circ }\)
Bài 14 :
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:5x - 3y + 1 = 0\) và \({d_2}:10x - 6y - 7 = 0\).
b) \({d_1}:7x - 3y + 7 = 0\) và \({d_2}:3x + 7y - 10 = 0\).
c) \({d_1}:2x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:6x - 2y - 2023 = 0\).
Bài 15 :
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
a) \({d_1}:5x - 9y + 2019 = 0\) và \({d_2}:9x + 5y + 2020 = 0\).
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + 9t\\y = 7 + 18t\end{array} \right.\) và \({d_2}:4x - 12y + 13 = 0\).
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 - 5t\\y = 13 + 9t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + 10t\\y = 11 - 18t\end{array} \right.\).
Bài 16 :
Cho ∆1: x − 2y + 3 = 0 và ∆2: -2x – y + 5 = 0. Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
A. 30⁰
B. 45⁰
C. 90°
D. 60⁰
Bài 17 :
Cho \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + \sqrt 3 t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 3 t'\\y = 2 + t'\end{array} \right.\). Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
A. 300
B. 450
C. 900
D. 600
Bài 18 :
Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: 3x + y - 5 = 0 và ∆2: x + 2y − 3 = 0.
b) \({\Delta _3}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y = - t'\end{array} \right.\).
c) \({\Delta _5}: - \sqrt 3 x + 3y + 2 = 0\) và \({\Delta _6}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - \sqrt 3 t\end{array} \right.\).
Bài 19 :
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 t\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 t'\\y = - t'\end{array} \right.\)
Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
A. 300
B. 450
C. 900
D. 600
Bài 20 :
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Khi đó góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thứcA. \(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
B. \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
C. \(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
D. \(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Bài 21 :
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\, - x + y + 1 = 0\) và \({d_2}:2\,x + 2y - 3 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằngA. \(45^\circ \)
B. \(60^\circ \)
C. \(90^\circ \)
D. \(30^\circ \)
Bài 22 :
Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm A(3; 4) đến điểm B(3; 50) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm C(38; 50). Góc lệch của con thuyền với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Danh sách bình luận