Đề bài

Có 8 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để có đúng 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in {\mathbb{N}}$, (a, b) = 1. Khi đó, giá trị của a + b là bao nhiêu?

Phương pháp giải

Chia trường hợp, áp dụng các quy tắc đếm và công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Số cách xếp ngẫu nhiên 8 học sinh vào 8 ghế: $n(\Omega) = 8!$.

Xét biến cố M: “Có đúng 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau”.

TH1: 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau ở vị trí đầu hàng.

- Chọn 2 trong 3 học sinh lớp A: $A_{3}^{2}$ cách.

- 2 học sinh lớp A vừa chọn ngồi ngoài cùng bên phải hoặc bên trái: 2 cách.

- 1 học sinh lớp A còn lại ngồi ở vị trí bất kì không liền kề các 2 bạn lớp A trên: 5 cách.

- 5 học sinh lớp B và lớp C ngồi ở các vị trí còn lại: 5! cách.

Theo quy tắc nhân, TH1 có $A_{3}^{2}.2.5.5! = 7200$ cách xếp chỗ.

TH2: 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau không ở vị trí đầu hàng.

- Chọn 2 trong 3 học sinh lớp A: $A_{3}^{2}$ cách.

- 2 học sinh lớp A vừa chọn ngồi vào các vị trí không phải đầu hàng: 5 cách.

- 1 học sinh lớp A còn lại ngồi ở vị trí bất kì không liền kề các 2 bạn lớp A trên: 4 cách.

- 5 học sinh lớp B và lớp C ngồi ở các vị trí còn lại: 5! cách.

Theo quy tắc nhân, TH1 có $A_{3}^{2}.5.4.5! = 14400$ cách xếp chỗ.

Theo quy tắc cộng, ta có tổng số cách xếp thuận lợi cho M là:

n(M) = 7200 + 14400 = 21600.

Xác suất cần tìm là: $P(M) = \dfrac{n(M)}{n(\Omega)} = \dfrac{21600}{8!} = \dfrac{15}{28}$.

Vậy a + b = 15 + 28 = 43.

Mở rộng

Xác suất của biến cố

Giả sử một phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra là một biến cố.

Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

\(\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\),

trong đó n(A), n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập hợp A và Ω.

Chú ý:

- Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.

- Với mọi biến cố A, \(0 \le P(A) \le 1\).

- \(P(\emptyset ) = 0\); \(P(\Omega ) = 1\).