Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Cung AC là một phần tư đường tròn tâm D, bán kính DA (tham khảo hình vẽ). Giả sử P là điểm thay đổi trên cung AC (P khác A và C). Tiếp tuyến tại điểm P của cung AC cắt các đoạn thẳng AB, BC theo thứ tự tại các điểm M, N. Diện tích lớn nhất của tam giác BMN bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, thiết lập phương trình đường tròn và đường tiếp tuyến.
Tìm tọa độ các điểm M, N theo tham số của điểm P.
Viết biểu thức tính diện tích tam giác BMN và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $D(0;0) \equiv O$.
Vì hình vuông có cạnh bằng 1, nên tọa độ các đỉnh là: A(0; 1), C(1; 0) và B(1; 1).
Cung AC nằm trong góc phần tư thứ nhất thuộc đường tròn tâm D(0; 0), bán kính R = 1. Phương trình đường tròn là $x^{2} + y^{2} = 1$ ($x \geq 0,y \geq 0$).
Gọi tọa độ điểm P trên cung AC là $P(\cos t;\sin t)$ với $t \in (0;\dfrac{\pi}{2})$.
Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại P của đường tròn là qua $P(\cos t;\sin t)$ và có VTPT là $\overset{\rightarrow}{DP}\left( {\cos t;\sin t} \right)$.
Vậy phưuong trình có dạng$\left. \cos t\left( {x - \cos t} \right) + \sin t\left( {y - \sin t} \right) = 0\Leftrightarrow x.\cos t + y.\sin t = 1 \right.$.
Đường thẳng AB có phương trình y = 1. Giao điểm M của $\Delta$ và AB:
Thay y = 1 vào phương trình $\Delta$: $\left. x.\cos t + \sin t = 1\Rightarrow x = \dfrac{1 - \sin t}{\cos t} \right.$.
Vậy $M\left( {\dfrac{1 - \sin t}{\cos t};1} \right)$.
Đường thẳng BC có phương trình x = 1. Giao điểm N của $\Delta$ và BC:
Thay x = 1 vào phương trình $\Delta$: $\left. \cos t + y.\sin t = 1\Rightarrow y = \dfrac{1 - \cos t}{\sin t} \right.$.
Vậy $N\left( {1;\dfrac{1 - \cos t}{\sin t}} \right)$.
Độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông BMN (vuông tại B):
$BM = 1 - x_{M} = 1 - \dfrac{1 - \sin t}{\cos t} = \dfrac{\cos t + \sin t - 1}{\cos t}$;
$BN = 1 - y_{N} = 1 - \dfrac{1 - \cos t}{\sin t} = \dfrac{\sin t + \cos t - 1}{\sin t}$.
Diện tích tam giác BMN là:
$S = \dfrac{1}{2}BM \cdot BN = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\cos t + \sin t - 1}{\cos t} \cdot \dfrac{\sin t + \cos t - 1}{\sin t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{(\sin t + \cos t - 1)}^{2}}{\sin t \cdot \cos t}$.
Đặt $u = \sin t + \cos t = \sqrt{2}\sin\left( {t + \dfrac{\pi}{4}} \right)$.
Do $t \in (0;\dfrac{\pi}{2})$ nên $1 < u \leq \sqrt{2}$.
Ta có $\left. u^{2} = \sin^{2}t + \cos^{2}t + 2\sin t\cos t = 1 + 2\sin t\cos t\Rightarrow\sin t\cos t = \dfrac{u^{2} - 1}{2} \right.$.
Thay vào biểu thức diện tích S:
$S = \dfrac{1}{2}\dfrac{{(u - 1)}^{2}}{\dfrac{u^{2} - 1}{2}} = \dfrac{{(u - 1)}^{2}}{u^{2} - 1} = \dfrac{{(u - 1)}^{2}}{(u - 1)(u + 1)} = \dfrac{u - 1}{u + 1} = 1 - \dfrac{2}{u + 1}$.
Hàm số $f(u) = 1 - \dfrac{2}{u + 1}$ đồng biến trên nửa khoảng $\left( {1;\sqrt{2}} \right\rbrack$.
Do đó, S đạt giá trị lớn nhất khi $u = \sqrt{2}$ (tương ứng với $t = \dfrac{\pi}{4}$, điểm P nằm chính giữa cung AC).
$S_{\max} = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2} = 3 - 2\sqrt{2} \approx 0,17$ .
Danh sách bình luận