Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2. Biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SA = \sqrt{6}$ (tham khảo hình vẽ). Góc phẳng nhị diện [S, BD, C] có số đo bằng bao nhiêu độ?

Phương pháp giải

Xác định góc phẳng nhị diện $\left\lbrack {S;BD;C} \right\rbrack = \left( {SO;OC} \right) = \angle SOC$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó O là giao điểm của AC và BD.

Ta có mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) có giao tuyến là BD.

Vì ABCD là hình vuông nên $AC\bot BD$ tại O, suy ra $AO\bot BD$.

Mặt khác, $SA\bot(ABCD)$ nên $SA\bot BD$.

Từ $BD\bot AO$ và $BD\bot SA$, ta suy ra $BD\bot(SAO)$.

Vì $SO \subset (SAO)$ nên $BD\bot SO$.

Như vậy, ta có: $(SBD) \cap (ABCD) = BD$; $SO\bot BD$; $AO\bot BD$.

Vậy $\left\lbrack {S,BD,C} \right\rbrack = \left( {SO,OC} \right) = \widehat{SOC}$.

Ta có $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{2}$.

$\left. \tan\widehat{SOA} = \dfrac{SA}{AO} = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SOA} = 60^{o}\Rightarrow\widehat{SOC} = 120^{o} \right.$.