Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = 3 và AA’ = 12. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A'; các tia A'B', A'D', A'A lần lượt trùng với các tia Ox, Oy, Oz. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Tọa độ của điểm D là (0; 3; 12).
b) Tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{MD}$ là (2; -3; 0).
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MDC’) có tọa độ là (3; 2; 1).
d) Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (MDC’) lớn hơn 5.
a) Tọa độ của điểm D là (0; 3; 12).
b) Tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{MD}$ là (2; -3; 0).
c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MDC’) có tọa độ là (3; 2; 1).
d) Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (MDC’) lớn hơn 5.
Xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật dựa trên kích thước đề bài.
Sử dụng công thức tính tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến và công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Từ giả thiết, ta có các tọa độ: A’(0; 0; 0), B’(4; 0; 0),
D’(0; 3; 0), A(0; 0; 12), B(4; 0; 12), D(0; 3; 12), C’(4; 3; 0).
a) Đúng. Tọa độ D(0; 3; 12).
b) Sai. M là trung điểm AB nên M(2; 0; 12). Suy ra $\overset{\rightarrow}{MD} = ( - 2;3;0)$.
c) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{MD} = ( - 2;3;0)$ và $\overset{\rightarrow}{DC'} = (4;0; - 12)$.
Có $\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{MD},\overset{\rightarrow}{DC'}} \right\rbrack = ( - 36; - 24; - 12)$.
Suy ra 1 vectơ pháp tuyến của (MDC’) là $\overset{\rightarrow}{n} = - \dfrac{1}{12}\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{MD},\overset{\rightarrow}{DC'}} \right\rbrack = (3;2;1)$.
d) Sai. Phương trình mặt phẳng (MDC’) đi qua D(0; 3; 12) có dạng:
$\left. 3(x - 0) + 2(y - 3) + 1(z - 12) = 0\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 18 = 0 \right.$.
Khoảng cách $d(A',(MDC')) = \dfrac{| - 18|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{18}{\sqrt{14}} \approx 4,81 < 5$.
Danh sách bình luận