Một nhà máy sản xuất x sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x) = 16000 + 500x - 1,6x^{2} + 0,004x^{3}$ (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x và được cho bởi công thức p(x) = 1700 - 7x (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.
Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.
Lập hàm lợi nhuận theo x, tìm x để hàm đạt GTLN.
Doanh thu nhà máy mỗi tháng là:
$x.p(x) = 1700x - 7x^{2}$ (nghìn đồng).
Lợi nhuận của nhà máy mỗi tháng là:
$L(x) = xp(x) - C(x) $
$= - 16000 + 1200x - 5,4x^{2} - 0,004x^{3}$ (nghìn đồng).
$\left. L'(x) = - 0,012x^{2} - 10,8x + 1200 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 100} \\ {x = - 1000} \end{array} \right. \right.$
Vì x là số sản phẩm nên ta nhận giá trị x = 100. Lập bảng biến thiên, thấy hàm L(x) đạt GTLN tại x = 100. Vậy, mỗi tháng nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm.
Danh sách bình luận