Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -2; -5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Biết mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C. Thể tích tứ diện OABC bằng bao nhiêu?
Lập phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M, nhận $\overset{\rightarrow}{OM}$ làm vecto pháp tuyến. Từ đó, tìm tọa độ các điểm A, B, C và tính thể tích khối tứ diện.
(P) qua M và cách O một khoảng lớn nhất, khi đó $OM\bot(ABC)$ và $\overset{\rightarrow}{OM} = (1; - 2; - 5)$ là một vecto pháp tuyến của (ABC). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
$ 1(x - 1) - 2(y + 2) - 5(z + 5) = 0$
$\Leftrightarrow x - 2y - 5z - 30 = 0$
$\Leftrightarrow\dfrac{x}{30} + \dfrac{y}{- 15} + \dfrac{z}{- 6} = 1$.
Giả sử A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz.
Khi đó A(30; 0; 0), B(0; -15; 0), C(0; 0; -6).
$V_{OABC} = \dfrac{1}{3}.OA.S_{OBC} $
$= \dfrac{1}{6}OA.OB.OC$
$= \dfrac{1}{6}.30.15.6 = 450$ (đvtt).
Danh sách bình luận