Đề bài

Có một tấm bìa hình ngũ giác đều MNPQR tâm O cạnh bằng 30 cm, cắt bỏ 5 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của ngũ giác đều ban đầu, đỉnh là đỉnh của ngũ giác đều bên trong như hình vẽ rồi gập lên thành một khối chóp ngũ giác đều có cạnh đáy bằng x (cm). Tìm x để thể tích tạo thành là lớn nhất.

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của ngũ giác đều và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm diện tích đáy, chiều cao khối chóp. Từ đó xây dựng công thức tính thể tích của khối chóp theo x. Ứng dụng đạo hàm tìm x để thể tích đạt GTLN.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

MNPQR là ngũ giác đều nên ta có:

\(\widehat {ROM} = \widehat {MON} = \widehat {NOP} = \widehat {POQ} = \widehat {QOR} = \frac{{{{360}^o}}}{5} = {72^o}\).

Xét tam giác OQR cân tại O, đường cao OK:

\(\widehat {ROK} = \widehat {KOQ} = \frac{{\widehat {ROQ}}}{2} = \frac{{{{72}^o}}}{2} = {36^o}\).

Xét tam giác ROK vuông tại K: \(\sin \widehat {ROK} = \frac{{RK}}{{OR}}\)

\(\Rightarrow OR = \frac{{RK}}{{\sin \widehat {ROK}}} = \frac{{RQ}}{2}:\sin \widehat {ROK} = \frac{{30}}{2}:\sin {36^o} = \frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}}\) (cm).

Ta có \(EI = ID = \frac{{ED}}{2} = \frac{x}{2}\) (cm).

Xét tam giác OIE vuông tại I: \(\tan \widehat {EOI} = \frac{{EI}}{{OI}} \)

\(\Leftrightarrow OI = \frac{{EI}}{{\tan \widehat {EOI}}} = \frac{x}{2}:\tan {36^o} = \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}\) (cm).

\(IR = OR - OI = \frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}} - \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}\) (cm).

Gọi đỉnh chóp là S, sau khi được gập lên thì các điểm M, N, P, Q, R, S trùng nhau.

Chiều cao khối chóp là:

\(h = SO = \sqrt {I{R^2} - O{I^2}} \)

\(= \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}} - \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2}} \) (cm).

Diện tích đáy khối chóp là:

\({S_{MNPQR}} = 5.{S_{OED}} = 5.\frac{1}{2}.OI.DE \)

\(= 5.\frac{1}{2}.\frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}.x = \frac{{5{x^2}}}{{4\tan {{36}^o}}}\) \((c{m^2})\).

Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}{S_{MNPQR}}.h \)

\(= \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{{\sin {{36}^o}}} - \frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{{2\tan {{36}^o}}}} \right)}^2}} .\frac{{5{x^2}}}{{4\tan {{36}^o}}}\) \((c{m^3})\).

Ta có \(V' = 0 \Leftrightarrow x \approx 14,8\) (cm). Vậy thể tích tạo thành lớn nhất khi x xấp xỉ 14,8 (cm).