Đề bài

Một phần đường chạy của tàu lượng siêu tốc (Hình 1) khi gắn hệ trục tọa độ Oxy được mô phỏng ở Hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét.

Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {0 \le x < 90} \right)\); tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm A, đi qua các điểm C, D (ba điểm A, C, D nằm trên đường thẳng song song với trục Ox) đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là 4 m. Độ cao lớn nhất mà tàu lượng siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Phương pháp giải

Giả sử \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = f(x)\). Tìm phương trình f(x), từ đó suy ra điểm cực đại của hàm số và tính độ cao lớn nhất mà tàu lượng siêu tốc đạt được.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Giả sử \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = f(x)\).

Đồ thị cắt đường thẳng y = 30 tại ba điểm có hoành độ x = 0, x = 50, x = 80, nghĩa là phương trình \(f(x) = 30 \Leftrightarrow f(x) - 30 = 0\) có ba nghiệm phân biệt x = 0, x = 50, x = 80.

Ta có thể viết hàm số dưới dạng:

\(f(x) = a(x - 0)(x - 50)(x - 80) + 30 \)

\(= a({x^3} - 130{x^2} + 4000x) + 30\).

\(f'(x) = a(3{x^2} - 260x + 4000) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20\\x = \frac{{200}}{3}\end{array} \right.\).

Dựa vào hình dạng đồ thị, xác định được điểm cực tiểu của f(x) là x = 20 và điểm cực đại của f(x) là \(x = \frac{{200}}{3}\).

Ta có \(4 = a({20^3} - {130.20^2} + 4000.20) + 30 \)

\(\Rightarrow a =  - \frac{{13}}{{18000}}\).

Suy ra \(f(x) =  - \frac{{13}}{{18000}}({x^3} - 130{x^2} + 4000x) + 30\).

Độ cao lớn nhất mà tàu siêu tốc đạt được là:

\(f\left( {\frac{{200}}{3}} \right) = \frac{{9890}}{{243}} \approx 40,7\) (m).