Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c đều dương.
a) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; -2; 3) sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 2. Khoảng cách từ điểm D(1; 1; 1) tới mặt phẳng (ABC) bằng $\dfrac{m}{n}$ với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó T = m + n = 8.
b) Mặt phẳng (ABC) có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.
c) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm H(1; 1; 1) sao cho H là trực tâm tam giác ABC là x + y + z – 3 = 0.
d) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm G(1; 2; 3) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là 6x + 3y + 2z + 18 = 0.
a) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; -2; 3) sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 2. Khoảng cách từ điểm D(1; 1; 1) tới mặt phẳng (ABC) bằng $\dfrac{m}{n}$ với $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó T = m + n = 8.
b) Mặt phẳng (ABC) có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.
c) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm H(1; 1; 1) sao cho H là trực tâm tam giác ABC là x + y + z – 3 = 0.
d) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm G(1; 2; 3) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là 6x + 3y + 2z + 18 = 0.
b) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn.
c) Chứng minh VTPT của (ABC) là 
d) Từ tọa độ trọng tâm G, tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C, từ đó suy ra phương trình mặt phẳng (ABC).
a) Từ tính chất của cấp số cộng, biểu diễn b, c theo a và thay tọa độ điểm M vào phương trình đoạn chắn để tìm a, b, c. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tìm m, n.
b) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
d) Sai. G là trọng tâm tam giác ABC nên \(G\left( {\frac{{a + 0 + 0}}{3};\frac{{0 + b + 0}}{3};\frac{{0 + 0 + c}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3}} \right)\).
Mà theo đề bài \(G(1;2;3) \Rightarrow a = 3,b = 6,c = 9\).
Vậy (ABC): \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\).
c) Đúng. Gọi AF, CE lần lượt là đường cao của tam giác ABC.
OABC là tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc, H là trực tâm của tam giác ABC.
\(\left. \begin{array}{l}OA \bot (OBC) \Rightarrow OA \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot (OAF) \Rightarrow BC \bot OH\) (1)
\(\left. \begin{array}{l}OC \bot (OAB) \Rightarrow OC \bot AB\\CE \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot (OCE) \Rightarrow AB \bot OH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OH \bot (ABC) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = (1;1;1)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Vậy (ABC): \(1(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0\).
a) Đúng. Vì A(a; 0; 0) nên OA = a, tương tự ta có OB = b, OC = c.
OA, OB, OC có độ dài lần lượt lập thành cấp số cộng có công sai bằng 2, do đó b = a + 2, c = a + 4.
Suy ra (ABC): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1\). Mà M(2; -2; 3) thuộc (ABC) nên:
\(\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow b = 4,c = 6\).
Vậy (ABC): \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).
\(d\left( {D,(ABC)} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 3.1 + 2.1 - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{7} \Rightarrow T = m + n = 1 + 7 = 8\).
Danh sách bình luận