Một mái nhà được tạo bởi hai nửa lục giác đều ABCD, ABC’D’ và hai tam giác bằng nhau ADD’, BCC’. Biết CDD’C’ là hình chữ nhật và AB // CD // C’D’, CD = C’D’ = 2AB = 6 m, DD’ = 4 m. Tìm số đo góc nhị diện [D’, AD, C] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DD’, CC’. Do cân tại A nên .
Gọi H là hình chiếu của A xuống MN. Gọi K là hình chiếu của A xuống DC.
Gắn hệ trục toạ độ với H trùng O, HA trùng Oz, HK trùng Ox, HM trùng Oy.
Tính góc nhị diện bằng góc giữa 2 mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ trong không gian.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DD', CC'. Do \(\Delta ADD'\) cân tại A nên \(AM \bot DD'\).
Gọi H là hình chiếu của lên MN, K là hình chiếu của A lên DC.
\(DK = MH = \frac{{MN - AB}}{2} = \frac{{6 - 3}}{2} = 1,5\);
ABCD là một nửa hình lục giác đều nên AD = AB = BC = 3.
\(\Rightarrow AK = \sqrt {A{D^2} - D{K^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
\(HK = \frac{1}{2}DD' = 2 \Rightarrow AH = \sqrt {A{K^2} - H{K^2}} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
\(AM = \sqrt {A{D^2} - M{D^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5\).
\(\Rightarrow HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \frac{3}{2}\).
Gắn hệ trục toạ độ với H trùng O, HA trùng Oz, HK trùng Ox, HM trùng Oy.
Khi đó \(A\left( {0;0;\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right), K(2;0;0), M\left( {0;\frac{3}{2};0} \right) \Rightarrow D\left( {2;\frac{3}{2};0} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {AK} \left( {2;0; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right);\overrightarrow {DK} \left( {0; - \frac{3}{2};0} \right)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{(ADK)}}} = \left[ {\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {DK} } \right] = \left( { - \frac{{3\sqrt {11} }}{4};0; - 3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} \left( {0; - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right),\overrightarrow {MD} (2;0;0)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{(AMD)}}} = \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MD} } \right] = \left( {0;\sqrt {11} ;3} \right)\).
\( \Rightarrow \cos (\overrightarrow {{n_{(ADK)}}} ,\overrightarrow {{n_{(AMD)}}} ) = \frac{{ - 9}}{{\sqrt {\frac{{243}}{{16}}} \cdot \sqrt {20} }} = - \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}} \).
\(\Rightarrow [D',AD,C] \approx {121^o}\).
Danh sách bình luận