Đề bài

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABC.A’B’C’D’ có A(-3; 2; 1), C(4; 2; 0), B’(-2; 1; 1), D’(3; 5; 4). Gọi toạ độ của điểm A’ là A’(a; b; c). Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{a - b - c}}{2}\).

Phương pháp giải

Đặt \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AA'}\).

Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm \(\overrightarrow u \), từ đó suy ra tọa độ điểm A.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_A} = {x_B} - {x_A} + {x_D} - {x_A}\\{y_C} - {x_A} = {y_B} - {x_A} + {y_D} - {y_A}\\{z_C} - {z_A} = {z_B} - {z_A} + {z_D} - {z_A}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_D} - {x_A} - {x_C} = 0\\{y_B} + {y_D} - {y_A} - {y_C} = 0\\{z_B} + {z_D} - {z_A} - {z_C} = 0\end{array} \right.\) (*)

Đặt \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {DD'}  \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_B} = {x_{\overrightarrow u }}\\{y_{B'}} - {y_B} = {y_{\overrightarrow u }}\\{z_{B'}} - {z_B} = {z_{\overrightarrow u }}\\{x_{D'}} - {x_D} = {x_{\overrightarrow u }}\\{y_{D'}} - {y_D} = {y_{\overrightarrow u }}\\{z_{D'}} - {z_D} = {y_{\overrightarrow u }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = {x_{B'}} - {x_{\overrightarrow u }}\\{y_B} = {y_{B'}} - {y_{\overrightarrow u }}\\{z_B} = {z_{B'}} - {z_{\overrightarrow u }}\\{x_D} = {x_{D'}} - {x_{\overrightarrow u }}\\{y_D} = {y_{D'}} - {y_{\overrightarrow u }}\\{z_D} = {z_{D'}} - {z_{\overrightarrow u }}\end{array} \right.\)

Thay vào (*), được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2{x_{\overrightarrow u }} + {x_{B'}} + {x_{D'}} - {x_A} - {x_C} = 0\\ - 2{y_{\overrightarrow u }} + {y_{B'}} + {y_{D'}} - {y_A} - {y_C} = 0\\ - 2{z_{\overrightarrow u }} + {z_{B'}} + {z_{D'}} - {z_A} - {z_C} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x_{\overrightarrow u }} + ( - 2) + 3 - ( - 3) - 4 = 0\\ - 2{y_{\overrightarrow u }} + 1 + 5 - 2 - 2 = 0\\ - 2{z_{\overrightarrow u }} + 1 + 4 - 1 - 0 = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow u  = (0;1;2) = \overrightarrow {AA'}  = (a + 3;b - 2;c - 1)\)

\( \Rightarrow a =  - 3;b = 3;c = 3 \Rightarrow \frac{{a - b - c}}{2} =  - 4,5\).