Trong hệ trục toạ độ Oxy, đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ A và kết thúc tại C, đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\), biết đồ thị hàm số f(x) tiếp xúc với trục Ox tại điểm B.
Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm A, hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục Ox nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Dựa vào các điểm thuộc đồ thị, tìm các hệ số a, b, c, d rồi tính f(5).
Ta có \(f'(x) = \frac{{a{x^2} + 2adx + (bd - c)}}{{{{(x + d)}^2}}}\).
Đồ thị hàm số:
- Đi qua A(0; 10): \(f(0) = 10 \Rightarrow \frac{c}{d} = 10 \Rightarrow c = 10d\).
- Đi qua B(10; 0): \(f(10) = 0 \Rightarrow 100a + 10b + c = 0 \)
\(\Leftrightarrow 100a + 10b + 10d = 0 \Leftrightarrow b = - 10a - d\).
- Tiếp xúc với Ox tại B: \(a{(10)^2} + 2ad(10) + (bd - c) = 0\)
\(\Rightarrow 100a + 20ad + bd - c = 0\)
\( \Leftrightarrow 100a + 20ad + ( - 10a - d)d - 10d = 0\)
\(\Leftrightarrow 100a + 10ad - {d^2} - 10d = 0\) (*).
- Đi qua C(15; 1): \(f(15) = 1 \Rightarrow \frac{{225a + 15b + c}}{{15 + d}} = 1 \)
\(\Leftrightarrow 225a + 15b + c = 15 + d\)
\( \Leftrightarrow 225a + 15( - 10a - d) + 10d = 15 + d\)
\(\Leftrightarrow a = \frac{{5 + 2d}}{{25}}\).
Thế vào (*), ta được:
\(100.\frac{{5 + 2d}}{{25}} + 10.\frac{{5 + 2d}}{{25}}.d - {d^2} - 10d = 0 \Leftrightarrow d = \pm 10\).
Nếu d = -10 thì tiệm cận đứng của đồ thị là x = 10, điều này vô lí vì B(10; 0). Do đó d = 10.
Ta tính được các giá trị còn lại là a = 1, b = -20, c = 100. Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 20x + 100}}{{x + 10}}\).
Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét tức là x = 5.
Khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi đó là: \(f\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} - 20.5 + 100}}{{5 + 10}} \approx 1,67\) (m).
Danh sách bình luận