Đề bài

Một hộ gia đình muốn xây dựng một kho chứa mini dạng khối tứ diện OABC tận dụng góc tường nhà (với O là góc tường, ba cạnh OA, OB, OC nằm trên ba mép tường vuông góc). Để lắp đặt hệ thống thông gió, mặt phía trước của kho (mặt phẳng ABC) bắt buộc phải đi qua một van điều tiết đặt tại vị trí M có tọa độ M(1; 2; 1) (đơn vị tính là mét). Gia đình muốn thiết kế kho sao cho thể tích của kho là nhỏ nhất để không làm ảnh hưởng quá nhiều đến diện tích sinh hoạt của sân chung. Khi kho được thiết kế với thể tích nhỏ nhất, hãy tính khoảng cách từ góc tường O đến mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải

Lập phương trình (ABC) theo đoạn chắn, áp dụng BĐT AM – GM để tìm thể tích kho nhỏ nhất. Từ đó suy ra các hệ số của phương trình (ABC) và tính khoảng cách.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi tọa độ các điểm trên các trục là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), và C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Mặt phẳng (ABC) là mặt trước của kho, có phương trình theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).

Vì mặt phẳng này đi qua điểm M(1; 2; 1), ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).

Áp dụng BĐT AM – GM cho ba số dương a, b, c:

\(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{1}{c}}}\)

\( \Leftrightarrow 1 \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}} \le \frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{{abc}} \le \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow abc \ge 54\).

Thể tích kho là: \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc \ge \frac{1}{6}.54 = 9\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \) a = 3, b = 6, c = 3.

Vậy (ABC): \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 6 = 0\).

\(d(O,(ABC)) = \frac{{\left| {2.0 + 1.0 + 2.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\).