Một cuộc họp có sự tham gia của 21 nhà khoa học, chia thành ba lĩnh vực: Toán học, Vật lí và Hóa học. Trong đó lĩnh vực Toán học gồm có 4 nam và 2 nữ; lĩnh vực Vật lí gồm có 3 nam và 4 nữ; lĩnh vực Hóa học gồm có 4 nam và 4 nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học. Tính xác suất để ban thư kí được chọn có đủ cả ba lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ.
Kết hợp phương pháp tổ hợp và tính xác suất của biến cố đối.
Ta có \(n(\Omega ) = C_{21}^4 = 5985\).
Gọi \(A\) là biến cố chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực. Khi đó:
Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: \(C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840\).
Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: \(C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008\).
Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 2 nhà Hóa học là: \(C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176\).
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024\).
Gọi \(B\) là biến cố chọn ra 4 nhà khoa học đủ cả ba lĩnh vực mà trong đó chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.
Khi đó:
- Số cách chọn chỉ có nam:
\(C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192\).
- Số cách chọn chỉ có nữ:
\(C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112\)
\( \Rightarrow n\left( B \right) = 192 + 112 = 304\).
Suy ra số cách chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực, trong đó có cả nam lẫn nữ là: \(3024 - 304 = 2720\) hay \(n(A) = 2720\).
Vậy \(P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{2720}}{{5985}} = \frac{{544}}{{1197}}\).
Danh sách bình luận