Đề bài

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển biểu thức $\left( {x^{2} + \dfrac{2}{x}} \right)^{5}$, $x \neq 0$.

Phương pháp giải

\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Số hạng tổng quát thứ \(k + 1\) trong khai triển trên là:

\(C_5^k{\left( {{x^2}} \right)^{5 - k}}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^k} = C_5^k{.2^k}.{x^{10 - 3k}}\), \(0 \le k \le 5\), \(k \in \mathbb{N}\).

Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển trên ứng với \(k\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}10 - 3k = 4\\0 \le k \le 5\\k \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 2\).

Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển trên là:

\(C_5^2{.2^2} = 10.4 = 40\).