Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác đều và SCD là tam giác vuông cân tại đỉnh S. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD (làm tròn đến hàng phần trăm).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Chứng minh SH là chiều cao của khối chóp với H là hình chiếu của S lên MN.
Sử dụng hệ thức lượng và các công thức tính diện tích tam giác để tính SH. Từ đó tính thể tích khối chóp.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
Vì SAB là tam giác đều nên \(SN \bot AB\), vì SCD là tam giác cân nên \(SM \bot CD \Rightarrow SM \bot AB\) (vì AB // CD).
\(\left. \begin{array}{l}SN \bot AB\\SM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot (SMN) \Rightarrow (ABCD) \bot (SMN)\).
Giao tuyến của (ABCD) và (SMN) là đường thẳng MN.
Xét trong mặt phẳng (SMN), gọi H là hình chiếu của S lên MN, khi đó \(SH \bot (ABCD)\).
Ta có \(SN = \frac{{4\sqrt 3 }}{2}\), SM = CM = DM = 2, MN = 4.
Đặt \(p = \frac{{SN + SM + MN}}{2} = 3 + \sqrt 3 \).
Xét tam giác SMN: \({S_{SMN}} = \sqrt {p(p - SN)(p - SM)(p - MN)} = 2\sqrt 3 \).
Mặt khác: \({S_{SMN}} = \frac{1}{2}SH.MN \Leftrightarrow 2\sqrt 3 = \frac{1}{2}SH.4 \Leftrightarrow SH = \sqrt 3 \).
Vậy \({V_{S.ACBD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\sqrt 3 {.4^2} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3} \approx 9,24\).
Danh sách bình luận