Đề bài

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm M(1; 2; 3) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(3; 6; -12). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính R = 2 thuộc mặt phẳng (Oxy) bắt đầu xuất phát đi thẳng theo hướng vecto \(\vec j = (0;1;0)\) với tốc độ không đổi v = 5 (cm/s). Tính khoảng thời gian mà trong quá trình di chuyển tấm bìa đã che khuất tầm nhìn của người quan sát. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. (Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 cm).

Phương pháp giải

Tìm giao điểm P của MN và (Oxy). Trên mặt phẳng (Oxy), tính thời gian tấm bìa đi qua điểm P.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

\(\overrightarrow {MN}  = (3 - 1;6 - 2; - 12 - 3) = (2;4; - 15)\).

Phương trình đường thẳng MN: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 - 15t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

MN giao với mặt phẳng (Oxy): z = 0 tại: \(3 - 15t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{5}\).

Thay \(t = \frac{1}{5}\) vào phương trình của MN, ta tìm được giao điểm là \(P\left( {\frac{7}{5};\frac{{14}}{5};0} \right)\).

Xét trên mặt phẳng (Oxy): \(P\left( {\frac{7}{5};\frac{{14}}{5}} \right)\), đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} = 4\).

Giả sử đường thẳng d: \(x = \frac{7}{5}\) cắt (C) tại A và B.

(C) di chuyển cùng hướng với tia Oy nên đoạn thẳng AB trên tấm bìa sẽ chắn tầm nhìn (vì đường thẳng AB đi qua P).

Thay \(x = \frac{7}{5}\) vào phương trình (C), được \(y =  \pm \frac{{\sqrt {51} }}{5} \Rightarrow AB = \frac{{2\sqrt {51} }}{5}\) (cm).

Thời gian tấm bìa che khuất tầm nhìn của người quan sát là \(\frac{{AB}}{5} \approx 0,57\) (giây).