Một cái ly nước hình trụ có chiều cao 9 cm đang chứa một lượng nước bằng $\frac{3}{4}$ thể tích của ly. Bạn A đặt một vật có dạng hình lập phương vào miệng ly thì thấy một đỉnh của vật đó chạm vào mặt nước đồng thời đường chéo qua đỉnh này của hình lập phương trùng với trục đối xứng của ly (tham khảo hình vẽ). Nếu ban đầu bạn A đổ nước đầy ly thì sau khi đặt khối lập phương như trên, lượng nước tràn ra là bao nhiêu centimet khối (kết quả làm tròn đến hàng phần chục và bỏ qua độ dày của ly)?
Tính thể tích chóp tam giác đều (một phần của khối lập phương) bên trong ly.
Độ cao của nước là: \(\frac{3}{4}.9 = 6,75\) (cm).
Phần khối lập phương bên trong ly là chóp tam giác đều với chiều cao h = 9 – 6,75 = 2,25 (cm).
Giả sử đỉnh chạm vào mặt nước là A. Mặt (BCD) trùng với mặt phẳng miệng ly. I là trung điểm của CD, H là hình chiếu của A lên (BCD), khi đó H thuộc BI và H là trọng tâm tam giác BCD.
Gọi AB = AC = AD = x (cm). Vì AB, AC, AD đôi một vuông góc nên xét tam giác ACD vuông cân tại A, với AI là đường cao: \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\).
Xét tam giác ABI vuông tại A với AH là đường cao:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{x^2}}} \Rightarrow {x^2} = 3A{H^2} = 3.2,{25^2} = 15,1875\).
Thể tích nước tràn ra là thể tích khối chóp ABCD:
\(V = \frac{1}{3}.AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.AH.\frac{{{{\left( {x\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \)
\(= \frac{1}{3}.2,25.\frac{{15,1875.2\sqrt 3 }}{4} \approx 9,9\) \((c{m^3})\).
Danh sách bình luận