Cho một bể chứa nước có hình dạng là một lăng trụ đứng AEFB.DHGC. Mặt đáy của lăng trụ là hình thang vuông AEFB (vuông tại A và E). Biết rằng chiều dài của bể AD = 12 m, chiều rộng của mặt bể AB = 6 m, chiều rộng của đáy bể EF = 3 m và chiều cao của bể AE = 4 m. Bể được bơm nước vào với lưu lượng không đổi P = 4 $m^3$/giờ. Giả sử mặt nước (IKJL) luôn song song với mặt đáy (HGFE) của bể (tham khảo hình vẽ).
Tính tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm t = 18 giờ (đơn vị tính theo mét trên giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể.
Đặt hệ trục tọa độ Exh sao cho F thuộc tia Ex, A thuộc tia Eh.
Ta có F(3; 0) và B(6; 4) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 3a + b\\4 = 6a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b = - 4\end{array} \right.\)
Phương trình BF là: \(h = \frac{4}{3}x - 4 \Rightarrow x = \frac{{3h + 12}}{4}\).
Diện tích mặt nước là: \(S(h) = 12x = 9h + 36\).
Thể tích nước là: \(V(h) = \int\limits_0^h {S(h)dh} = \int\limits_0^h {(9h + 36)dh} = \frac{{9{h^2}}}{2} + 36h\).
Sau 18 giờ, \(V(18) = 18.4 = 72 = \frac{{9{h^2}}}{2} + 36h \Rightarrow h \approx 1,66\).
Ta có \(V'(t) = V'(h).h'(t) \Leftrightarrow 4 = (9h + 36).h'(t)\)
\( \Leftrightarrow h'(t) = \frac{4}{{9h + 36}} \approx 0,08\).
Cách tính thể tích vật thể ứng dụng tích phân
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức
\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Danh sách bình luận