Đề bài

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x + d}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4).

Đúng

Sai

b) Tích giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x) bằng -12.

Đúng

Sai

c) Cho điểm M có hoành độ lớn hơn 2, di chuyển trên đó thì hàm số y = f(x). Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm M tới hai trục tọa độ bằng $4 + 4\sqrt{2}$.

Đúng

Sai

d) a + b + c + d = -5.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4).

Đúng

Sai

b) Tích giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x) bằng -12.

Đúng

Sai

c) Cho điểm M có hoành độ lớn hơn 2, di chuyển trên đó thì hàm số y = f(x). Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ điểm M tới hai trục tọa độ bằng $4 + 4\sqrt{2}$.

Đúng

Sai

d) a + b + c + d = -5.

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Quan sát bảng biến thiên (tiệm cận, cực trị,...) để khảo sát và tìm công thức hàm số.

a) Sai. Hàm số gián đoạn trên (0; 4) nên không đồng biến trên (0; 4).

b) Đúng. Giá trị cực tiểu là 2, giá trị cực đại là -6. Tích của chúng bằng -12.

c) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng x = 2 nên d = -2.

Ta có \(f(0) = 2 \Leftrightarrow \frac{c}{d} = 2 \Leftrightarrow c = 2d = 2.( - 2) =  - 4\).

\(f'(0) = 0 \Leftrightarrow \frac{{(2a.0 + b)(0 - 2) - (a{{.0}^2} + b.0 - 4)}}{{{{(0 - 2)}^2}}} = 0 \Rightarrow b = 2\).

\(f(4) =  - 6 \Leftrightarrow \frac{{a{{.4}^2} + 2.4 - 4}}{{4 - 2}} =  - 6 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 2 - b}}{4} =  - 1\).

Vậy \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\). M thuộc đồ thị thì \(M\left( {{x_M};\frac{{ - {x_M}^2 + 2{x_M} - 4}}{{{x_M} - 2}}} \right)\).

Khoảng cách từ M tới hai trục tọa độ là \(d = \left| {{x_M}} \right| + \left| {\frac{{ - {x_M}^2 + 2{x_M} - 4}}{{{x_M} - 2}}} \right|\), mà theo bảng biến thiên thì hoành độ M luôn dương, tung độ M luôn âm nên phá dấu trị tuyệt đối, được:

\(d = {x_M} + \left( { - \frac{{ - {x_M}^2 + 2{x_M} - 4}}{{{x_M} - 2}}} \right) = 2{x_M} + \frac{4}{{{x_M} - 2}}\).

Đặt \(t = {x_M} - 2 \Leftrightarrow {x_M} = t + 2\). Thay vào d, ta được:

\(d = 2(t + 2) + \frac{4}{t} = 2t + 4 + \frac{4}{t} \)

\(\ge 2\sqrt {2t.\frac{4}{t}}  + 4 = 4\sqrt 2  + 4\).

d) Đúng. a + b + c + d = -1 + 2 – 4 – 2 = -5.