Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 1 cm, $AC = \sqrt{2}$ cm; $\widehat{SBA} = \widehat{SCA} = 90{^\circ}$, góc giữa BC và mặt phẳng (SAB) bằng $45{^\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC, với đơn vị là cm (centimet) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Phương pháp giải

Đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).

Khi đó ta có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {SH\bot AB} \\ {SB\bot AB} \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot\left( {SHB} \right)\Rightarrow AB\bot HB \right.$ (1).

Tương tự $AC\bot HC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ABHC là hình chữ nhật.

Như vậy ta có hình chóp quen thuộc S.ABHC có đáy ABHC là hình chữ nhật và cạnh bên SH vuông góc với đáy.

Gọi F là hình chiếu của H trên SB.

Đặt SH = x, suy ra $HF = \dfrac{HB.SH}{\sqrt{HB^{2} + SH^{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$.

Lại có $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{3}$.

Do góc giữa BC và (SAB) bằng $45{^\circ}$ nên

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin 45{^\circ} = \dfrac{d\left( {C,(SAB)} \right)}{BC} = \dfrac{d\left( {H,(SAB)} \right)}{BC} = \dfrac{HF}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3}\sqrt{x^{2} + 2}}$

$\left. \Leftrightarrow 2x = \sqrt{3\left( {x^{2} + 2} \right)}\Leftrightarrow x = \sqrt{6} \right.$.

Qua A kẻ đường thẳng $\Delta$ song song với BC. Gọi E là hình chiếu của H trên $\Delta$. Gọi K là hình chiếu của H trên SE. Suy ra $HK\bot\left( {SAE} \right)$.

Đường thẳng HE cắt BC tại I.

Khi đó $HI = \dfrac{HB.HC}{\sqrt{HB^{2} + HC^{2}}} = \dfrac{1.\sqrt{2}}{\sqrt{1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Ta có $\left. HA \cap BC = O\Rightarrow O \right.$ là trung điểm của $HA\left. \Rightarrow I \right.$ là trung điểm của HE.

Suy ra $HE = 2HI = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ .

Từ đó có $HK = \dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^{2} + HE^{2}}} = \dfrac{\sqrt{6}.\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{6 + \dfrac{24}{9}}} = \dfrac{2\sqrt{78}}{13}$.

Vì $\left. BC//AE\Rightarrow BC//\left( {SAE} \right) \right.$.

$\left. \Rightarrow d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {BC,\left( {SAE} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SAE} \right)} \right) \right.$

$= \dfrac{1}{2}d\left( {H,\left( {SAE} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}HK = \dfrac{\sqrt{78}}{13} \approx 0,68$ cm.