Đề bài

Có một hòn đảo nằm trong một vịnh biển, giả sử rằng đường bao sát biển của hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxyz là một phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + 2\) và giả sử một con đường trong đất liền chạy trên một đường thẳng có phương trình là y = -9x + 60 như hình vẽ, với đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 100 m. Tập đoàn đầu tư du lịch S muốn làm một cây cầu vuợt biển có dạng một đoạn thẳng nối từ con đường trong đất liền ra hòn đảo để khai thác du lịch sinh thái. Tính độ dài ngắn nhất (đơn vị: mét) của cây cầu cần làm ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x\).

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường tại tiếp điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) \(\left( {{x_0} > 0} \right)\).

Khi đó \(f'\left( {{x_0}} \right) =  - 9 \Leftrightarrow  - 3x_0^2 + 6{x_0} =  - 9\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 1\,\,(l)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;2} \right)\).

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right):9x + y - 60 = 0\).

\(h = \frac{{\left| {9.3 + 2 - 60} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} \approx 3,423\).

Vì đơn vị của hệ trục là 100 m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 342 m.