Đề bài

Một cái bể nước hình nón để ngược như hình vẽ, có chiều cao 51 cm, bán kính đáy bằng 50 cm.

Một vòi nước chảy vào bể sao cho sau mỗi giây chiều cao mực nước tăng đều lên 2 cm cho đến khi đầy bể. Hãy tính tốc độ tăng thể tích \(\left( {{m^3}/s} \right)\) của nước trong khoảng thời gian một giây ngay trước khi bể đầy. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Gọi thời điểm 1 giây trước khi đầy bể là \({t_1}\) giây, thời điểm đầy bể là \({t_2}\) giây (kể từ khi vòi bắt đầu chảy).

Sử dụng định nghĩa đạo hàm, tính \(\frac{{\Delta V}}{{\Delta t}} = \frac{{V({t_2}) - V({t_1})}}{{{t_2} - {t_1}}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi h(t) (cm) là chiều cao mực nước tại thời điểm t bất kỳ, r(t) (cm) là bán kính mặt nước, ta có

\(\frac{{r\left( t \right)}}{{h\left( t \right)}} = \frac{{50}}{{51}} \Rightarrow r\left( t \right) = \frac{{50}}{{51}}.h\left( t \right)\).

Thể tích khối nước là \(V\left( t \right) = \frac{1}{3}\pi .{r^2}\left( t \right).h\left( t \right)\)

\( = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{{50}^2}}}{{{{51}^2}}}.{h^2}\left( t \right).h\left( t \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{{50}^2}}}{{{{51}^2}}}.{h^3}\left( t \right)\).

Gọi thời điểm 1 giây trước khi đầy bể là \({t_1}\) giây, thời điểm đầy bể là \({t_2}\) giây (kể từ khi vòi bắt đầu chảy).

Ta có \({t_2} - {t_1} = 1\), \(h({t_1}) = 49\), \(h({t_2}) = 51\).

Tốc độ tăng thể tích \(\left( {{m^3}/s} \right)\) của nước trong khoảng thời gian một giây cuối cùng trước khi bể nước vừa đầy bằng:

\(\frac{{\Delta V}}{{\Delta t}} = \frac{{V({t_2}) - V({t_1})}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .\frac{{{{50}^2}}}{{{{51}^2}}}{{.51}^3} - \frac{1}{3}\pi .\frac{{{{50}^2}}}{{{{51}^2}}}{{.49}^3}}}{1}\)

\( \approx 15100,01698\) \(c{m^3}/s\) \( \approx 0,02\) \({m^3}/s\).