Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, \(\widehat {ABC} = {60^o}\). Biết rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{3a}}{2}\). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng \(\frac{{m\sqrt {13} .a}}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, m > 0, n > 0. Giá trị m + n bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Gọi K là hình chiếu của O lên CD, H là hình chiếu của O lên SK.

\(\left. \begin{array}{l}OK \bot CD\\SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SOK) \Rightarrow CD \bot OH\).

\(\left. \begin{array}{l}OH \bot SK\\OH \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O,SCD)} \right) = OH\).

\(AC = 2OC \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH\).

\(\Delta ABC\) đều cạnh a, suy ra \(OC = \frac{a}{2}\), \(OB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = OD\).

\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\);

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{{52}}{{9{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{3\sqrt {13} a}}{{26}}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH = \frac{{3{\sqrt {13} }a}}{13}\).

Vậy m + n = 3 + 13 = 16.