Đề bài

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\dfrac{3}{8} < a < 1;\dfrac{1}{3} < b < 1;\dfrac{1}{8} < c < 1$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4\text{log}_{a}\left( {\dfrac{3b}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) + 3\text{log}_{b}\left( {\dfrac{c}{2} - \dfrac{1}{16}} \right) + 6\text{log}_{c}\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{3}{16}} \right)$.

Phương pháp giải

Đánh giá $b^{3} \geq \dfrac{3b - 1}{4}$; $c^{2} \geq \dfrac{8c - 1}{16}$ và $a^{4} \geq \dfrac{8a - 3}{16}$ tìm GTNN của P.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

$P = 4\text{log}_{a}\left( {\dfrac{3b}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) + 3\text{log}_{b}\left( {\dfrac{c}{2} - \dfrac{1}{16}} \right) + 6\text{log}_{c}\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{3}{16}} \right)$

$P = 4\text{log}_{a}\left( \dfrac{3b - 1}{4} \right) + 3\text{log}_{b}\left( \dfrac{8c - 1}{16} \right) + 6\text{log}_{c}\left( \dfrac{8a - 3}{16} \right)$

Ta có $b^{3} - \dfrac{3b - 1}{4} = \dfrac{4b^{3} - 3b + 1}{4} = \dfrac{\left( {b + 1} \right)\left( {2b - 1} \right)^{2}}{4} \geq 0$ với mọi $\dfrac{1}{3} < b < 1$ nên $b^{3} \geq \dfrac{3b - 1}{4}$.

Tương tự $\left. c^{2} - \dfrac{8c - 1}{16} = \dfrac{16c^{2} - 8c + 1}{16} = \dfrac{\left( {4c - 1} \right)^{2}}{16} \geq 0\Rightarrow c^{2} \geq \dfrac{8c - 1}{16} \right.$;

$\left. a^{4} - \dfrac{8a - 3}{16} = \dfrac{16a^{4} - 8a + 3}{16} = \dfrac{\left( {2a - 1} \right)^{2}\left( {4a^{2} + 4a + 3} \right)}{16} \geq 0\Rightarrow a^{4} \geq \dfrac{8a - 3}{16} \right.$.

Khi đó:

$P = 4\text{log}_{a}\left( \dfrac{3b - 1}{4} \right) + 3\text{log}_{b}\left( \dfrac{8c - 1}{16} \right) + 6\text{log}_{c}\left( \dfrac{8a - 3}{16} \right)$

$\geq 4\text{log}_{a}b^{3} + 3\text{log}_{b}c^{2} + 6\text{log}_{c}a^{4}$

$\geq 12\text{log}_{a}b + 6\text{log}_{b}c + 24\text{log}_{c}a$

$\geq 3\sqrt[3]{12\text{log}_{a}b.6\text{log}_{b}c.24\text{log}_{c}a} \geq 36$.

Vậy $P_{\min} = 36$ khi $a = b = \dfrac{1}{2};c = \dfrac{1}{4}$.