Đề bài

Cho hàm số $y = x^{3} - 3\left( {m + 1} \right)x^{2} + 3\left( {m^{2} + 2m} \right)x - 2025$, với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$?

Phương pháp giải

Tính $y' = 0$ tìm 2 nghiệm $x_{1} < x_{2}$.

Để hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ thì $x_{1} < 0 \leq x_{2}$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {x_{2} < 0} \\ {f\left( x_{1} \right) \geq f(0)} \end{array} \right.$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

$y = f(x) = x^{3} - 3\left( {m + 1} \right)x^{2} + 3\left( {m^{2} + 2m} \right)x - 2025$.

$y' = 3x^{2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m^{2} + 2m} \right)$.

Ta có $\Delta' = 9\left( {m + 1} \right)^{2} - 3.3\left( {m^{2} + 2m} \right) = 9 > 0$ nên $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = m$ và $x_{2} = m + 2$.

Để hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ thì:

+) Trường hợp 1: $\left. m < 0 \leq m + 2\Rightarrow m \in \left\{ {- 2; - 1} \right\} \right.$ ($m \in {\mathbb{Z}}$).

+) Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} {m + 2 < 0} \\ {f(m) \geq f(0)} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m < - 2} \\ {m^{3} - 3\left( {m + 1} \right)m^{2} + 3\left( {m^{2} + 2m} \right)m \geq 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m < - 2} \\ {m \geq - 3} \end{array} \right.\Rightarrow m = - 3\ \ (m \in {\mathbb{Z}}) \right.$.

Vậy $m \in \left\{ {- 3; - 2; - 1} \right\}$ thì hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$.