Đề bài

Hai bạn Hải và Sơn cùng chơi một trò chơi như sau: Hải có một hộp gồm 9 quả bóng được đánh số từ 1 đến 9, Sơn có một hộp gồm 8 quả bóng được đánh số từ 1 đến 8. Mỗi bạn bốc ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp của mình rồi xếp các số ghi trên 3 quả bóng bốc được theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có 3 chữ số. Bạn nào có số lớn hơn là người chiến thắng. Tính xác suất để Sơn thua (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải

Xét 2 trường hợp:

TH1: Hải bốc được số 9. Khi đó mọi số mà Sơn bốc được đều nhỏ hơn Hải.

TH2: Hải không bốc được số 9. Khi đó xác suất hải thắng = sơn thắng = (tổng số cách – hoà) : 2.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Hải bốc 3 quả bóng có $C_{9}^{3}$ cách.

Sơn bốc 3 quả bóng có $C_{8}^{3}$ cách.

Khi đó không gian mẫu $|\Omega| = C_{9}^{3}.C_{8}^{3}$.

Gọi số mà Hải bốc được là $\overline{abc}$, số mà Sơn bốc được là $\overline{mnp}$.

Trường hợp 1: $a = 9$. Khi đó Hải có $C_{8}^{2}$ cách bốc.

Khi đó mọi số mà Sơn bốc được đều nhỏ hơn Hải bốc.

Vậy có $C_{8}^{2}.C_{8}^{3}$ cách để số của Sơn nhỏ hơn Hải.

Trường hợp 2: $a \neq 9$.

- Lúc này, Hải chỉ bốc 3 quả từ các số $\left\{ 1,2,\ldots,8 \right\}$.

- Sơn cũng bốc 3 quả từ các số $\left\{ 1,2,\ldots,8 \right\}$.

- Trong trường hợp này, hai bạn có điểu kiện hoàn toàn giống nhau (cùng chọn từ tập 1 đến 8). Đây là một tình huống đối xứng.

Gọi N là tổng số cách chọn trong trường hợp này. Khi đó $N = C_{8}^{3}.C_{8}^{3} = 56^{2}$.

Trong trường hợp này, có 3 khả năng xảy ra:

1. Hải thắng (Sơn thua).

2. Sơn thắng (Hải thua).

3. Hòa (Hai bạn bốc được bộ số y hệt nhau).

Do tính đối xứng, số trường hợp Hải thắng sẽ bằng số trường hợp Sơn thắng.

Trường hợp 2 bạn Hoà có $C_{8}^{3} = 56$ cách.

Vậy xác suất để Hải thắng = Sơn thắng = $\dfrac{56^{2} - 56}{2} = 1540$ cách.

Vậy xác suất để Sơn thua là $P = \dfrac{C_{8}^{2}.C_{8}^{3} + 1540}{C_{9}^{3}.C_{8}^{3}} = \dfrac{37}{56} \approx 0,66$.