Một tập đoàn năng lượng cần xây dựng tuyến ống dẫn dầu cỡ lớn chạy theo một đường thẳng dài 720km để dẫn dầu đi qua một vùng hoang mạc rộng lớn. Hai trạm bơm công suất lớn ở hai đầu tuyến đã xây xong, phần việc còn lại là:
+) Lắp đặt ống dẫn dầu giữa hai trạm bơm công suất lớn đã có.
+) Xây thêm một số trạm bơm tăng áp nằm trên tuyến ống dẫn để tăng hiệu quả dẫn dầu sao cho các trạm bơm tăng áp này chia toàn bộ tuyến ống dẫn dầu thành các đoạn có độ dài bằng nhau.
Đơn vị thiết kế lập dự toán phần việc còn lại như sau:
+) Chi phí xây 1 trạm bơm tăng áp là 108 (triệu đồng).
+) Chi phí xây đoạn ống dẫn dầu nối giữa hai trạm bơm kề nhau với khoảng cách x km là $x\left( {2 + \sqrt{x}} \right)$ (triệu đồng).
Hỏi cần xây thêm bao nhiêu trạm bơm tăng áp để tổng chi phí phần việc còn lại theo dự toán như trên là nhỏ nhất? Coi kích thước của các trạm bơm tăng áp là không đáng kể so với chiều dài toàn tuyến ống dẫn dầu.
Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n. Biểu diễn n và lập hàm chi phí theo x. Tìm x để hàm chi phí đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó tính n.
Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n.
Khi đó toàn tuyến được chia thành n + 1 đoạn bằng nhau, nên $\left. (n + 1)x = 720\Rightarrow n = \dfrac{720}{x} - 1. \right.$
Tổng chi phí gồm:
- Chi phí xây trạm tăng áp: 108n;
- Chi phí xây ống cho n + 1 đoạn: $(n + 1)(2 + \sqrt{x})x$.
Vậy $y = f(x) = 108n + (n + 1)(2 + \sqrt{x})x.$
Thay $n = \dfrac{720}{x} - 1$, ta được:
$f(x) = 108\left( {\dfrac{720}{x} - 1} \right) + \left( {\dfrac{720}{x} - 1 + 1} \right)(2 + \sqrt{x})x$
$= \dfrac{77760}{x} + 720\sqrt{x} + 1332$ với $0 < x \leq 720$.
Ta có: $f'(x) = - \dfrac{77760}{x^{2}} + 720 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = - \dfrac{77760}{x^{2}} + \dfrac{360}{\sqrt{x}}.$
Giải $f'(x) = 0$: $\left. - \dfrac{77760}{x^{2}} + \dfrac{360}{\sqrt{x}} = 0\Rightarrow\dfrac{360}{\sqrt{x}} = \dfrac{77760}{x^{2}}\Rightarrow 360x^{2} = 77760\sqrt{x} \right.$.
Chia hai vế cho $360\sqrt{x}$: $\left. x^{3/2} = 216\Rightarrow x = \sqrt[3]{216^{2}} = 36 \right.$.
Khi 0 < x < 36 thì f’(x) < 0, khi 36 < x < 720 thì f’(x) > 0, nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 36.
Khi đó $n = \dfrac{720}{36} - 1 = 20 - 1 = 19$.
Kết luận: Cần xây thêm 19 trạm tăng áp để tổng chi phí nhỏ nhất.
Danh sách bình luận