Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí A(4; 2; 1) đến vị trí $B\left( {- 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$ với vận tốc 80 km/h theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong không gian.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án :

Nhận thấy $OA = \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{21} \approx 4,582 > 3;$

$OB = \sqrt{{( - 1)}^{2} + \left( \dfrac{- 1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{7}{2} \right)^{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3,67 > 3$.

Suy ra hai điểm A, B nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 5;\dfrac{- 5}{2};\dfrac{5}{2}} \right) = \dfrac{5}{2}\left( {- 2; - 1;1} \right) = \dfrac{5}{2}\overset{\rightarrow}{u}$.

Gọi M(x; y; z) là vị trí của của vệ tinh trên đoạn AB trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi.

Khi đó ta có $\overset{\rightarrow}{AM} = t\overset{\rightarrow}{u}$, với $\left. t > 0\Rightarrow M\left( {4 - 2t;2 - t;1 + t} \right) \right.$.

$\left. OM \leq 3\Leftrightarrow{(4 - 2t)}^{2} + {(2 - t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} \leq 9\Leftrightarrow 1 \leq t \leq 2. \right.$

Với $\left. t = 1\Rightarrow M_{1}(2;1;2) \right.$.

Với $\left. t = 2\Rightarrow M_{2}(0;0;3) \right.$.

Vậy vị trí đầu tiên vệ tinh bị theo dõi là $M_{1}(2;1;2)$ và vị trí cuối cùng trước khi ra khỏi phạm vi theo dõi là $M_{2}(0;0;3)$.

Ta có $M_{1}M_{2} = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ nên khoảng cách thực tế giữa $M_{1}$ và $M_{2}$ là $10\sqrt{6}$ km.

Suy ra thời gian vệ tinh bay trong vùng do thám là $t = \dfrac{10\sqrt{6}}{80}$ (giờ) $= \dfrac{10\sqrt{6}}{80}.60 \approx 18,4$ (phút).